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Schwingunsgrößen Schwingung - Kreis math. Beschreibung Pendel Dämpfung Wellenarten Interferenz Doppler Effekt Fourier Resonanz gekoppelte Pendel Wellenwanne Huygens

 

Physik, 12 - mechanische Schwingungen und Wellen - Achtung: lange Ladezeit !!!

Schwingungsvorgänge und -größen harmonische Schwingung Interferenz Resonanz Wellenarten Wellenwanne

Übersicht

Es gibt in unserer Umwelt viele Vorgänge welche in regelmäßigen Zeiten oder räumlichen Abständen gleiche Bewegungszustände durchlaufen. Schwingungen und Wellen treten in vielen Teilbereichen er Physik auf. Am anschaulichsten und mathematisch am einfachsten zu erfassen sind sie am Beispiel der mechanischen Wellen.

Hier der Link zum Download der aller in dieser Reihe verwendeten Folien: Sammlung Schwingungen (Stand 6.6.05)

Außerdem eine umfangreiches Script zum Thema Schwingungen, welches ich selber im Netz (keine Ahnung mehr wo) aufgetrieben habe.

Schwingungsvorgänge und -größen

Führt ein Körper periodisch Hin- und Herbewegungen um eine Ruhelage aus, so nennt man dies eine Schwingung.

  1. Die Bewegung ist periodisch, wenn sich die Bewegungszustände in gleichen Zeitabschnitten wiederholen.

  2. Klingt die Schwingung im Laufe der Zeit ab, so spricht man von einer gedämpften Schwingung, andernfalls handelt es sich um eine ungedämpfte Schwingung.

  3. Die Bewegung verläuft zwischen zwei Umkehrpunkten durch den Ruhepunkt des schwingenden Teilchens (Oszillators).

Zur Beschreibung einer Schwingung dienen folgende Größen:

Die Schwingungsdauer oder Periodendauer T ist der für eine vollständige Schwingung benötigte Zeitabschnitt.

Die Frequenz f ist der Quotient aus der Anzahl n der Schwingungen und der dazu benötigten Zeit t oder dem Kehrwert der Periodendauer T: f=n/t. Die Einheit der Frequenz ist 1 Hertz:

Die momentane Auslenkung oder Elongation y(t) (Strecke als Funktion der der Zeit) gibt den Weg an, um den sich der Oszillator aus der Ruhelage entfernt hat. Auslenkung nach unterschiedlichen Seiten des Ruhepunkts unterscheidet man im Vorzeichen.

Die maximale Auslenkung oder die Amplitude y0 der Schwingung ist der Betrag der größten Elongation.

Für die Frequenz ergeben sich folgende Zusammenhänge

Eine vertiefende Behandlung der Schwingungsgrößen findet sich auf der untergeordneten Seite Schwingungsgrößen.

Das besondere Merkmal aller Schwingungen eine stets zur Ruhelage gerichtete rücktreibende Kraft.

Ist die rücktreibende Kraft umso größer je größer die Auslenkung ist (lineares Kraftgesetz F ~ x) so kommt es zu einer harmonischen Schwingung.
Umgekehrt kann man aus dem Vorliegen einer harmonischen Schwingung auf ein lineares Kraftgesetz schließen.

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harmonische Schwingung

Der wichtigste Schwingungstyp ist die harmonische Schwingung oder die Sinusschwingung. Das heißt, die Amplitude bleibt konstant - die Schwingung ist ungedämpft. Er tritt z. B. bei der Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung oder bei der Schwingung eines Feder- oder Schwerependels auf.

Eine genauere Beschreibung der Projektion von Kreisbewegungen erfolgt auf der untergeordneten Seite Schwingung - Kreis.

Die Phase einer Schwingung gibt an, in welchen Abschnitt des sich wiederholenden Zyklus sich die Schwingung befindet. Mathematisch ausgedrückt ist die Phase das w in sin(wt).

x(t)=x0 sin(wt)

In der Einheit Grad ist ein Zyklus für w = 360° abgeschlossen. Für viele physikalischen Probleme ist die Phase einer Schwingung zum Startzeitpunkt irrelevant. Man kann in diesen Fällen w = 0 annehmen.

Es gelten folgende Gesetze:

x(t)=x0 sin(wt)

v(t)=x0 w cos(wt)

a(t)=-x0 w² sin(wt) = -w² x(t)

Es gilt:

x(t)=A sin(wt)

v(t)=A w cos(wt)

a(t)=-A w² sin(wt)

Für eine Federschwingung ergibt sich:

Eine erläuterte Herleitung findet sich auf der untergeordneten Seite math. Beschreibung.

Eine Simulation der Pendel befindet sich auf der untergeordneten Seite Pendel.

Für eine Schwerependelschwingung ergibt sich :

Eine erläuterte Herleitung findet sich auf der untergeordneten Seite math. Beschreibung.

Eine Simulation der Pendel befindet sich auf der untergeordneten Seite Pendel.

Reale Schwingungen sind immer gedämpft, da sie, z. B. durch Reibung, immer Energie an die Umgebung abgeben. Überlässt man ein solches System ohne äußere Energiezufuhr sich selbst (freie Schwingung), so führen diese Energieverluste zu einer Verkleinerung der Amplitude und letztendlich zum Stillstand der Schwingung.

Bei realen Schwingungen ist die dämpfende Kraft häufig proportional zur Geschwindigkeit. In diesem Fall nimmt die Amplitude exponentiell ab (A(t)=A0 e-kt ), d.h. die Einhüllende ist eine Exponentialkurve.

Um die Dämpfung mathematisch zu beschreiben, muss bei der mathematischen Beschreibung des harmonischen Oszillator ein Dämpfungsterm eingefügt werden: Ein Beispiel für geschwindigkeitsproportionale Reibung ist die Reibung in einem Fluid (Flüssigkeit oder Gas), etwa ein Pendel mit Luftreibung.

Eine solche gedämpfte harmonische Schwingung lässt sich beschreiben durch: y(t)=y0 e-kt sin(wt) (ungedämpft: y(t)=y0sin(wt))

Eine genauere Beschreibung der Dämpfung mit Simulationen erfolgt auf der untergeordneten Seite Dämpfung.

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Interferenz

In vielen Fällen sind an der Entstehung eines Bewegungsvorgangs mehrere Schwingungen beteiligt, die sich Additiv überlagern (Interferenz). Das Ergebnis hängt entscheidend von den Ausbreitungsrichtungen, den Frequenzen der Schwingungen  und deren Phasendifferenz ab.

Überlagern sich zwei Schwingungen, die sich nur geringfügig in ihrer Frequenz unterscheiden kommt es zu einer Schwebung.

Dann kann die Summenschwingung so dargestellt werden: y_R = \hat{y}[\sin (2\pi f_1t) + \sin(2\pi f_2t)]

Diese Berechnung kann umgeformt werden in die folgende Formel: y_R = 2\hat{y}\cos [\pi(f_1-f_2)t]\cdot \sin [\pi(f_1+f_2)t]

Die letzte Formel besagt, dass die Schwebungsfrequenz der mittleren Frequenz von beiden Obertönen entspricht (das Sinus-Glied der Formel, siehe fR unten), und dass die resultierende Amplitude der Schwebung sich zeitlich ändert (dies wird durch das Kosinus-Glied ausgedrückt, siehe fS unten).

Es gilt also: fS = f1f2, sowie f_R = \left( \frac{f_1 + f_2}{2} \right).

Eine genauere Beschreibung der Interferenz erfolgt auf der untergeordneten Seite Interferenz.

J.B.Fourier zeigte Anfang des 19. Jahrhunderts, dass sich periodische Vorgänge als Summe harmonischer Schwingungen darstellen lassen. Ist die Periodendauer T bekannt, so hat die erste harmonische Schwingung (Grundschwingung) die Frequenz f = 1/T. Die weiteren harmonischen Schwingungen (die so genannten Oberschwingungen) haben ganzzahlige Vielfache dieser Grundfrequenz.

Die Diskrete Fourier Transformation zerlegt ein beliebiges periodisches Signal in seine Basis-Frequenz-Komponenten (Sinus, Kosinus).

Eine genauere Beschreibung der Fourier Analyse mit Simulationen erfolgt auf der untergeordneten Seite Fourier.

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Resonanz

Animation: Torsional ModeResonanz: ist das Anwachsen der Amplitude (Schwingungsweite, Auslenkung) einer mechanischen oder elektrischen Schwingung, dadurch, dass eine äußere Kraft das schwingende System periodisch "im richtigen Takt" anregt.
Das funktioniert also nur, wenn sie dies genau mit der "richtigen" Frequenz, d.h. der Eigenfrequenz des Systems (oder einem Vielfachen davon) macht.

Eigenfrequenz: ist die Frequenz, mit der ein System frei schwingt. Jedes System hat dabei ganz bestimmte Eigenfrequenzen. Sie hängen von den physikalischen Gegebenheiten des Systems (z.B. Masse, Pendellänge, Federhärte, usw. ab).

Anders gesagt, alle schwingungsfähigen Systeme haben eine Eigenfrequenz, und wenn wir es mit dieser Eigenfrequenz zum Schwingen bringen, kann sich die Schwingung zu riesigen Werten "aufschaukeln".

Ist das schwingungsfähige System schwach gedämpft, so kann es zur Resonanzkatastrophe kommen. Die Resonanzstelle ist sehr scharf (rote Kurve). Ist das schwingungsfähige System stark gedämpft, so ist die Amplitude des Schwingers zwar maximal, aber deutlich kleiner als im schwach gedämpften Fall. Die Resonanzkurve ist breiter und damit der Resonanzfall experimentell auch leichter aufzufinden (blaue Kurve)

Eine genauere Beschreibung der Resonanz mit Simulationen erfolgt auf der untergeordneten Seite Resonanz.

Eine spezielle Art der Resonanz stellten zwei gekoppelte Pendel dar. Hier ist der Energievorrat des Erregers nicht mehr unendlich groß. Weisen beide Pendel die gleiche Eigenfrequenz auf, so wird im Resonanzfall (Phasenverschiebung Δφ = π/2) die Energie vom Erreger vollständig auf das andere Pendel übertragen wodurch dieses wiederum zu einem neuen Erreger wird.

Eine genauere Beschreibung der gekoppelten Pendel mit Simulationen erfolgt auf der untergeordneten Seite gekoppelte Pendel.

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Wellenarten

Eine Longitudinalwelle, auch Längswelle genannt, ist eine physikalische Welle, bei der die Bewegungsrichtung der schwingenden Teilchen (Luftmoleküle, etc.) in Ausbreitungsrichtung verlaufen. Longitudinalwellen sind sehr oft Druckwellen (z.B. Schall). Das bedeutet das sich eine Überdruck (bzw. Unterdruck oder Zug) in einem Medium in der Ausbreitungsrichtung fortpflanzt (verschiebt/verbreitet). Die einzelnen Teilchen schwingen hierbei in der Ausbreitungsrichtung um den Betrag der Amplitude hin und her. Nach dem Durchlauf der Schwingung bewegen die Teilchen sich wieder an ihre Ruhestellung zurück. Durch die Ausbreitung der Schwingung geht keine Energie verloren (abgesehen von Reibungsverlusten zwischen den Teilchen).

Eine Transversalwelle, oder auch Schubwelle, ist eine physikalische Welle, bei der die Bewegungsrichtung der schwingenden Teilchen, bzw. die Feldlinien der beteiligten Felder zur Ausbreitungsrichtung senkrecht verlaufen. Bei Transversalwellen gibt es dreidimensional betrachtet zwei Schwingungsebenen, welche untereinander und zur Ausbreitungsrichtung senkrecht stehen.
Eine sehr wichtige Eigenschaft von Transversalwellen ist die Möglichkeit der Polarisation. Treffen Transversalwellen auf ein Längsgitter, so kann nur der Schwingungsanteil in Gitterrichtung durch dieses hindurch. Der andere Teil wird vom Gitter absorbiert.

Die Frequenz f einer Welle ist deren unveränderliches Merkmal. Hat die Welle in verschiedenen Medien unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten c, so ändert sich die Wellenlänge l. Es gilt m c=f l

Eine genauere Beschreibung der Wellenarten mit Simulationen erfolgt auf der untergeordneten Seite Wellen.

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Wellenwanne

Mechanische und elektromagnetische Wellen spielen eine große Rolle beim Verständnis naturwissenschaftlicher Vorgänge. In einer so genannten Wellenwanne wird Wasser mit Erregern zu Wellenbewegungen angeregt. Die auftretenden Wellenphänomene können damit gut experimentell untersucht und verdeutlicht werden. Die bei den Wasserwellen gefundenen Wellenbeschreibungen können später auch auf die elektromagnetischen Wellenphänomene übertragen werden. Die Wellenwanne ist damit ein sehr wichtiges qualitatives Experimentiergerät zum Verständnis der vielfältigen Wellenphänomene mechanischer und elektromagnetischer Wellen.

Treffen zwei Wellen aufeinander, so addieren sich deren momentane Auslenkungen. Im Allgemeinen haben sie zu diesem Punkt einen unterschiedlich langen weg zurück gelegt, woraus eine Phasendifferenz resultiert.

An Punkten, für die die Differenz der Entfernungen von den beiden Wellenzentren (der Gangunterschied Ds) ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge l ist, weisen die Einzelwellen die gleiche Auslenkung auf. Die Gesamtauslenkung ist daher doppelt so groß (konstruktive Interferenz). Umgekehrt sind die Verhältnisse an Punkten, für die der Gangunterschied Dr ein halbzahliges Vielfaches der Wellenlänge l ist: die Wellen weisen gleich große aber entgegen gesetzte Auslenkungen auf und löschen sich an dieser Stelle aus (destruktive Interferenz).

Sw-21.jpg (43729 Byte)

Die Maxima und Minima liegen auf Kurven, für deren Punkte die Differenz der Abstände (Dr) zu den beiden Erregerzentren konstant und zwar gleich dem jeweiligen Gangunterschied ist. Diese Kurven sind Hyperbeln (grün) mit den gemeinsamen Erregerzentren als Brennpunkt.

Konstruktive Interferenz tritt auf für:

Dj=n 2p oder

Ds=n l

Destruktive Interferenz tritt auf für:

Dj=p oder

Ds=(n+0,5)l

Eine genauere Beschreibung der Wellenwanne mit Simulationen erfolgt auf der untergeordneten Seite Wellenwanne.

Abb26.JPG (14370 Byte)Eine anschauliche, konstruktive Verbindung zwischen Wellen und Strahlen zeigt das Huygens - Fresnelsche Prinzip. Es besagt, dass man sich jeden Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer kugelförmigen Elementarwelle denken kann. Abb27.JPG (26460 Byte)

 Alle diese Kugelwellen überlagern sich dann zu neuen Wellen, die sich in alle Richtungen ausbreiten. Einige Richtungen sind durch konstruktive Interferenz besonders bevorzugt: Die Senkrechte zu diesen Wellenfronten zeigt den dieser Welle entsprechenden „Strahl“.

Aus der Optik ist das Phänomen der Brechung und Reflektion bekannt. Das Gesetz, welches die Reflexion von Licht an einer Grenzfläche beschreibt ist sehr einfach und gilt an jeder Grenzfläche zwischen zwei Medien. Es lautet: Einfallswinkel gleich Reflexionswinkel, wobei die Winkel zum Lot der Grenzfläche gemessen werden.

Dieser Effekt lässt sich auch mit Hilfe der Wellenwanne zeigen. In tiefem Wasser bewegen sich Wellen schneller als in seichtem. Die Frequenz als unveränderliches Merkmal einer Welle bleibt erhalten. Wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit sinkt, so ändert sich neben einer Verkleinerung der Wellenlänge außerdem die Richtung der Senkrechten auf der Wellenfront.

Dabei gilt:

 

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letzte Änderung: 23.6.2009